분석역학(해석역학)이란 무엇인가?

분석 역학 (해석 역학)

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해석 역학은 이론 역학의 한 분야로 일반화된 좌표 를 변수로 사용 하여 질량점 시스템을 설명하고 수학적 분석 방법을 사용 하여 거시적 현상의 기계적 문제를 연구합니다. 해석 역학은 뉴턴 역학과 무관한 역학의 세계를 설명하는 시스템입니다. 해석 역학의 기본 원리와 뉴턴의 세 가지 운동 법칙은 서로 추론할 수 있습니다.

 

해석 역학은 이론 역학의 한 분야 이며 고전 역학의 고도의 수학적 표현 입니다 .

고전 역학의 표현의 원래 형식은 기하학적 방법과 벡터를 연구 도구로 사용하여 Newton 에 의해 주어 졌으므로 벡터 역학(때로는 "뉴턴 역학"이라고도 함)이라고도 합니다. Lagrange , Hamilton 및 Jacobi 는 일반화된 좌표 및 변형 방법을 사용 하여 벡터 역학과 동등한 기계적 표현 방법 세트를 설정했습니다. 벡터 역학에 비해 분석 역학의 표현 방법은 보편성이 더 큽니다. 벡터 역학의 매우 복잡한 많은 문제는 분석 역학을 사용하여 쉽게 해결할 수 있습니다. 해석 역학의 방법은 양자 역학 시스템 및 복잡한 동적 시스템 으로 확장될 수 있으며 양자 역학 및 비선형 역학에서 중요한 응용 프로그램이 있습니다.

다른 시스템에 따라 다른 미분 방정식 의 움직임을, 시스템 것을 많은 수의 연구 입자를 사용할 필요가 통계 역학, 양자 프로세스 효과 필요성을 무시할 수없는 양자 역학에 의해 연구되어야합니다. 그러나 분석 역학에 대한 지식은 통계 역학 및 양자 역학 에서 여전히 중요한 역할을 합니다.

해석 역학(해석 역학)은 일반화된 좌표를 변수로 사용하여 뉴턴의 운동 법칙에 따라 질량 점 시스템을 설명하고 수학적 분석 방법을 사용하여 거시적 현상의 기계적 문제를 연구하는 일반 역학의 한 분야입니다. 1788년에 출판된 J.-L. Lagrange의 "Analytical Mechanics"라는 책은 이 주제에 대한 기초를 마련했습니다.

 

개발 경로

18세기 이래로 벡터 역학과 함께 가는 또 다른 역학 시스템, 즉 분석 역학이 역학 발전의 역사에 등장했습니다. 이 시스템의 특징은 힘과 모멘트의 해석을 에너지와 일의 해석으로 대체한다는 것입니다. 미지의 이상적인 결합력의 출현을 피하기 위해 역학을 해석하는 한 가지 방법은 이상적인 결합력과 구속 방정식 사이의 직접적인 관계를 설정하고 벡터 역학의 일반적인 방법보다 더 분명한 동적 방정식을 도출하는 것입니다. 제1종 그레인 방정식. 역학을 분석하는 또 다른 방법은 독립 좌표에서 시작하여 순수한 수학적 분석 방법 을 사용 하여 독립 좌표 로 설명된 동적 방정식 을 통일된 원리와 공식으로 표현하는 것입니다. 이는 벡터 역학에서 이 방정식을 설정하는 기술을 극복합니다. 이 통합 방정식은 라그랑주 방정식의 두 번째 유형입니다. 위에서 언급한 작업은 1788년 JLLagrange에 의해 수행되었습니다. 라그랑지 방정식에 기초한 해석 역학을 라그랑지 역학이라고 합니다.

 

1834년 해밀턴 은 두 번째 유형의 라그랑주 방정식을 정규 형식으로 변환하고 역학의 기본 원리를 변형 형식의 해밀턴 원리 로 축소하여 해밀턴 역학을 확립했습니다. 동적 시스템의 경우 두 번째 유형의 Lagrangian 방정식 또는 시스템에 대한 Hamiltonian 방정식은 기술에 의존하지 않지만 수학적 유도 프로세스가 상당히 번거롭기 때문에 더 많은 자유도를 갖는 시스템 역학 을 설정하는 데 사용됩니다. 방정식은 매우 어렵고 오류가 발생하기 쉽습니다. 시스템 동역학 문제를 풀기 위해 첫 번째 유형의 라그랑주 방정식을 사용하는 것은 일반적인 벡터 동역학 방법과 동일하며 방정식을 설정하는 것이 더 쉽지만 솔루션의 규모는 매우 큽니다. 이러한 이유로 역학 발전의 역사에서 첫 번째 유형의 라그랑주 방정식은 벡터 역학의 일반적인 방법보다 우월하지 않고 제쳐두고 있습니다.

 

현대 컴퓨팅 기술의 발달로 수학적 문제를 양식화된 특징으로 해결하는 것은 규모가 아무리 크더라도 쉽게 해결할 수 있습니다. 따라서 동적 문제를 해결하기 위한 제1종 라그랑주 방정식이 널리 주목받고 있습니다. 복잡한 동역학 문제를 성공적으로 해결하는 컴퓨터 지원 해석 소프트웨어 에서는 시스템의 동역학 모델 로 Lagrange의 제1종 방정식과 가속도 구속 방정식이 사용된다고 할 수 있습니다 .

Lagrange 가 1788년에 출판한 "해석 역학"은 세계 최초의 해석 역학 연구입니다. 분석 역학은 가상 작업의 원리와 D'Alembert의 원리를 기반으로 합니다. 이 둘의 조합은 일반 동적 방정식을 얻을 수 있으며, 이는 해석 역학에서 다양한 시스템의 동적 방정식을 유도할 수 있습니다.

1760년부터 1761년까지 Lagrange는 이 두 가지 원리와 이상적인 제약 조건을 결합하여 일반 역학 방정식을 얻었으며, 해석 역학의 거의 모든 동적 방정식은 이 방정식에서 직간접적으로 파생되었습니다.

1834년 해밀턴은 일반 방정식이라고 하는 일반화 된 좌표 와 일반화된 운동량 으로 공동으로 표현되는 동적 방정식을 추론 했습니다. 다차원 공간 에서 해밀턴 시스템 은 시스템을 나타내는 점의 경로 적분 의 변형 원리 에 의해 전체 시스템의 기계적 문제 를 연구하는 데 사용할 수 있습니다 .

20세기에 Analytical Mechanics 는 비선형 , 비정상 및 가변 질량 기계 시스템에 대한 추가 연구를 수행했으며 운동의 안정성에 대한 광범위한 연구를 수행했습니다.

 

해석역학의 분류

해석 역학은 Lagrangian 역학 과 Hamiltonian 역학 으로 나뉩니다. 전자는 기계 시스템을 설명하기 위해 라그랑지 양을 사용하고, 운동 방정식을 라그랑지 방정식이라고 하며, 후자는 기계 시스템 을 설명 하기 위해 해밀턴을 사용 하고, 운동 방정식은 해밀턴 정준 방정식입니다.

해석역학은 거시적 현상을 연구하는 데 적합한 기계계로, 그 연구 대상은 입자계입니다. 질량점 시스템은 거시적인 물체로 구성된 기계 시스템의 이상적인 모델로 간주될 수 있습니다. 예를 들어 강체, 탄성체, 유체 및 이들의 복합물은 모두 질량점 시스템 으로 간주 될 수 있으며 질량 점의 수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 하나에서 무한대로. 다른 예로, 태양계는 자유 입자계로 간주할 수 있으며 별 사이의 상호 작용은 만유인력입니다. 태양계에서 행성과 위성의 운동에 대한 천체 역학 연구는 분석 역학과 밀접한 관련이 있으며 각각을 촉진합니다. 방법의 다른 것, 엔지니어링 기계적 문제는 대부분 제약입니다 제약 방정식의 유형이 다르기 때문에 다른 유형의 기계 시스템이 형성됩니다. 예를 들어, 완전 시스템, 불완전 시스템, 정상 시스템, 비정상 시스템 등입니다.