해밀턴 역학과 관련 학문

해밀턴 역학 

Hamiltonian 역학 은 1833년 Hamilton 이 설립한 고전 역학 을 다시 기술한 것으로, 이는 Lagrangian 역학 에서 발전한 것 입니다. 라그랑주 역학은 1788년 라그랑주 가 설립한 고전 역학의 또 다른 공식입니다. Hamiltonian 역학과 Lagrangian 역학의 차이점은 전자가 Lagrangian 역학에 의존하지 않고 symlectic space 를 사용할 수 있다는 것입니다. 

해밀턴 역학으로 표현하기에 적합한 동역학 시스템을 해밀턴 시스템 이라고 합니다.

 

수학적 표현

모든 대칭 다양체 에 대한 부드러운 실수 값 함수 H 를 사용하여 해밀턴 시스템 을 정의할 수 있습니다. 함수 H 를 Hamiltonian 또는 에너지 함수 라고 합니다. 이 복합적 다양체를 위상 공간이라고 합니다. Hamiltonian은 symlectic vector field라고 하는 symplectic manifold에서 특별한 벡터장 을 유도합니다. 

Hamiltonian 벡터장이라고 하는 이 복합 벡터장은 다양체에서 Hamiltonian 흐름을 유도합니다. 벡터 필드 의 적분 곡선 은 다양체 변환의 1개 매개변수 패밀리이며, 곡선의 매개변수는 일반적으로 시간 이라고 합니다. 이 시간의 진화는 symlectic homomorphism 에 의해 주어집니다. Liouville의 정리 에 따르면 각 symlectic homomorphism 은 위상 공간 의 볼륨 형태 를 변경하지 않고 유지합니다. Hamiltonian 흐름에서 파생된 symlectic homomorphisms 패밀리는 종종 Hamiltonian 시스템의 Hamiltonian 역학 이라고 합니다.

해밀턴 벡터 필드는 또한 특수 연산인 푸아송 대괄호 를 파생합니다. 포아송 대괄호는 단순 다양체의 기능에 작용하여 다양체의 기능 공간에 Lie 대수 구조를 제공합니다.

 

특히, 주어진 함수 f

확률 분포 ρ 가 있으면 (위상 공간 속도()는 발산이 0이고 확률은 일정함) 전달 도함수(대류 도함수)는 0으로 증명될 ​​수 있으므로

이것을 Liouville의 정리 라고 합니다. 모든 symlectic manifold 에 대한 평활 함수 G 는 1-매개변수 symlectic homomorphism family를 생성하고, { G , H } = 0이면 G 는 보존되고 symlectic homomorphism은 대칭 변환 입니다.

해밀턴 벡터장의 적분성은 공개된 문제입니다. 일반적으로 Hamiltonian 시스템은 혼란스럽고 측정, 완전성, 통합성 및 안정성의 개념이 잘 정의되어 있지 않습니다. 지금까지 역학 시스템 에 대한 연구는 주로 양적 과학보다는 질적 과학이었습니다.

 

해밀턴 시스템의 기하학

Hamiltonian 시스템은 시간 R 에서 섬유 다발 E 로 이해될 수 있으며 , 그의 섬유 E t , t ∈ R 은 위치 공간입니다. 라그랑지안은 J 의 E 에 있는 제트 번들 (제트 번들 ) 의 함수 입니다 . t 는 자연 복사 형태 를 가지며 이 함수는 해밀턴식입니다.

 

리만 다양체

Hamiltonian의 중요한 특별한 경우는 2차 형식 , 즉 다음과 같이 표현할 수 있는 Hamiltonian입니다.

이 해밀턴은 전적으로 운동 에너지 항으로 구성됩니다.

Riemannian manifold 또는 pseudo-Riemannian manifold가 역전 가능한 비축퇴 메트릭 이 있는 것으로 간주되는 경우 잔여 메트릭은 메트릭의 역으로 ​​간단히 주어질 수 있습니다. Hamilton-Jacobi 방정식 의 해는 다양체에 대한 측지선 입니다. 특히 이 경우 해밀턴 흐름은 측지 흐름입니다. 이러한 솔루션의 존재와 솔루션 세트의 완전성은 측지 항목 에서 자세히 설명 합니다.

 

잔차 측정값이 퇴화되면 되돌릴 수 없습니다. 이 경우에는 메트릭이 없기 때문에 리만 다양체가 아닙니다. 그러나 Hamiltonian은 여전히 ​​존재합니다. 이 경우, q co-metric은 다양체 Q 의 각 지점 에서 퇴화 하므로 co-metric은 인기 있는 Q 의 차원보다 작 으므로 sub-Riemannian 다양체입니다.

이 경우 해밀턴을 Sub- Riemannian Hamiltonian 이라고 합니다. 이러한 각각의 해밀턴은 고유한 행렬식 나머지를 가지며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 이것은 각 A-Riemannian 다양체가 그것의 A-Riemannian Hamiltonian에 의해 고유하게 결정된다는 것을 의미하며, 그것의 역 명제도 참입니다. Ariemann 측지학의 존재는 Zhou-Rashevsky 정리에 의해 제공됩니다.

연속 실수 가치 Heisenberg 그룹은 Arimannian 다양체의 예를 제공합니다. Heisenberg 그룹의 경우 Hamiltonian은 다음과 같습니다.

 

푸아송 대수학

해밀턴 시스템은 여러 가지 방법으로 일반화할 수 있습니다. 단순 다양체 에 대한 평활 함수 의 결합 대수 를 단순히 사용하는 것이 아니라 Hamiltonian 시스템은 교환 단위가 있는 보다 일반적인 실제 푸아송 대수 로 표현할 수 있습니다. 상태 는 대수학 의 각 요소 A 에 대해 A 가 음이 아닌 실수에 매핑 되는 푸아송 대수 (적절한 토폴로지 장착)의 연속 선형 함수 입니다.