삼체문제의 수학적 추론과 제한적인 삼체문제

수학적 추론

Issac Newton의 만유인력 정리와 Newton 의 제2법칙 에 따르면 다음을 얻을 수 있습니다.

3체 문제에서 입자 Qi에 작용하는 힘은 다음과 같습니다.

 

여기서 m은 입자의 질량, r은 입자의 위치 벡터, rij 는 두 입자 사이의 거리, Fij 는 두 입자 사이의 힘입니다. 3체 문제에 대한 미분 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

여기서 입자 Q i 의 가속도 는 입니다. 직교 좌표축에 대한 위 공식의 투영 공식은 다음과 같습니다.

 

여기서 mi는 입자의 질량, G는 중력 상수, r ij는 두 입자 mi와 mj 사이의 거리, q i1, q i2, q i3 은 입자 mi의 공간 좌표입니다.

따라서 3체 문제는 수학적 으로 9개의 방정식 에 대응하는 초기 조건 을 더한 2차 상미분 방정식의 시스템입니다.

총 19개 레벨. H. Bruns와 H. Poincaré는 n체 문제가 운동 적분 10개, 즉 운동량 적분 3개, 질량 중심 운동에 대한 적분 3개, 운동량 모멘트 적분 3개, 에너지 적분 1개만 가지고 있음을 증명했습니다. 그리고 그것들은 모두 대수적입니다. 이 10개의 적분을 적용하여 3체 문제의 18차 방정식을 8차로 축소한 다음 "소거 시간 방법"을 사용하여 7차로 줄일 수 있으며 "절점선 소거법"을 사용할 수 있습니다. 6차로 줄이는 데 사용할 수 있습니다. 평면 3체 문제라면 4차로 줄일 수 있다.

 

N-body 문제의 방정식은 N2 방정식의 2차 상미분 방정식의 유사한 시스템이기도 합니다.

N=1일 때 싱글톤 문제는 사소한 방정식입니다. 단일 입자 의 궤적 은 직선 과 등속 운동 일 수 있습니다. N=2( 2체 문제 )일 때 문제는 그렇게 간단하지 않습니다. 그러나 방정식 시스템은 여전히 풀기 너무 어렵지 않은 방정식 으로 축소 될 수 있으며 아마도 우수한 과학 학생이라면 누구나 쉽게 풀 수 있습니다. 간단히 말해서 두 입자의 상대 위치는 항상 원뿔형 에 있습니다. 즉, 입자 중 하나에 서서 다른 쪽을 보면 다른 입자의 궤도는 타원 , 포물선, 또는 쌍곡선 분기 또는 직선. 요하네스 케플러 문제 라고도 알려진 이체 문제는 1710년 스위스 수학자 요한 베르누이가 처음 풀었습니다. N체 문제는 아마도 수천 년 전으로 거슬러 올라갑니다. 그러나 문제에 대한 최초의 완전한 수학적 설명(위의 것과 같은 미분 방정식 사용)은 Newton의 " 자연 철학의 수학 원리 "(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica, 1687년 출판)에 나타났습니다. . 뉴턴은 그의 책에서 미적분학을 성공적으로 사용하여 케플러 의 천문학 3가지 법칙을 증명했지만 이상하게도 그의 책에서는 이체 문제에 대한 해법을 제시하지 않았다. 2체 문제를 스스로 해결할 수 있다.

 

3체 문제 또는 보다 일반적인 N체 문제(N이 2보다 큼)는 제안된 지 200년 동안 18세기와 19세기의 거의 모든 유명한 수학자들이 시도했지만, 문제의 진행은 최소입니다. 미분방정식 이론은 실패한 시도를 통해 더 성숙한 수학 분야 로 지속적으로 발전해 왔지만 이러한 발전의 근원인 N체 문제에 대해서는 알려진 바가 거의 없습니다. 마침내 19세기 말, 힐베르트가 그의 유명한 연설을 하기 몇 년 전, 예상했던 큰 돌파구가 생겼습니다.

 

특수한 상황들

4가지 특별한 경우:

1. 삼성은 일직선상에 있고 그 중 하나를 중심으로 측면에 있는 두 개가 회전합니다.

2. 삼성은 삼각형을 형성하고 삼각형의 중심을 중심으로 회전합니다.

3. 두 개의 별이 세 번째 별을 중심으로 회전합니다.

4. 같은 질량의 세 물체가 8자형 궤도에서 움직입니다.

 

 

제한적인 삼체 문제

 

삼체 문제의 특별한 경우, 문제의 세 천체 중 하나의 질량이 다른 두 천체의 질량에 비해 무시할 정도로 작을 때 이러한 삼체 문제를 제한된 삼체 문제라고 합니다. 일반적으로 이 작은 질량의 천체를 무한소 질량체 또는 단순히 작은 천체라고 하고, 질량이 큰 두 천체를 유한질량체라고 합니다.

작은 천체의 질량을 무한히 작다고 생각하면 두 개의 유한한 질량체에 대한 인력을 무시할 수 있습니다. 즉, 두 개의 유한한 질량체의 운동에 영향을 미치지 않습니다. 따라서 두 유한 한 질량체 의 운동 상태 에 대한 논의는 여전히 2체 문제이며, 그 궤도는 질량 중심 을 중심으로 하는 원추형 곡선 입니다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 인 원뿔형 단면의 4가지 다른 상황에 따라 제한된 삼체 문제는 원형 제한 삼체 문제, 타원형 제한 삼체 문제 및 포물선 제한 삼체 문제의 네 가지 유형으로 나뉩니다. 신체 문제 삼체 문제와 쌍곡선 제한 삼체 문제. 작은 천체의 초기 위치와 초기 속도가 두 유한 질량체 의 궤도면에 있으면 작은 천체는 항상 움직일 것입니다.

 

힐 은 태양궤도의 이심률, 태양시차, 달 궤도의 기울기를 무시하고 제한된 삼체 문제에 따른 달의 운동을 연구합니다.

그가 얻은 주기적인 해 는 힐의 달 운동 이론 의 중간 궤도 입니다.

소행성 운동 이론에서 타원의 제한 삼체 문제가 자주 논의되는데, 트로이 소행성 의 운동 은 태양-목성-소행성으로 구성된 제한 삼체 문제의 정삼각형 해법의 한 예입니다. Brouwer는 또한 타원형의 제한된 삼체 문제의 관점에서 소행성 고리의 간격을 논의했습니다. 포물선 제한 삼체 문제와 쌍곡선 제한 삼체 문제는 천체 역학에서 거의 사용되지 않습니다. 인공 천체의 출현 후 제한된 삼체 문제는 달 로켓과 행성간 차량의 운동에 대한 단순화된 기계적 모델을 연구하는 데 자주 사용되는 새로운 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 

 

연구 진행

'삼체 문제'가 확인된 지 300년이 넘었지만, 3세트의 주기적인 특별 솔루션만이 발견되었습니다. 두 명의 과학자가 한 번에 13개의 새로운 주기적 특수 솔루션을 발견하여 과학계를 놀라게 했습니다. 세르비아의 물리학자 Milovan Shuvakov와 Dimitra Shnovic은 13개의 새로운 특수 솔루션 그룹을 발견했습니다. 권위 있는 학술지 Physical Review Letters 의 논문에서 그들은 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하여 알려진 특정 솔루션으로 시작한 다음 새로운 움직임 패턴이 발견될 때까지 초기 조건을 지속적으로 미세 조정하는 접근 방식을 설명합니다. 이 13개의 특수 솔루션 그룹은 추상 공간 "모양 구"의 느슨한 코일처럼 매우 복잡합니다.

 

삼체 문제에 대한 특수 솔루션의 가족 수가 16개 그룹으로 확장되었습니다. 새로운 발견은 과학계를 기쁘게 합니다. "나는 이 결과가 매우 마음에 든다"고 수년간 3체 문제를 연구해 온 미국 과학자 로버트 밴더비가 말했다. 또 다른 미국 과학자인 Richard Montgomery 는 "이러한 결과는 훌륭하고 설명도 훌륭하다" 고 말했습니다. 추가 개발은 사람들이 우주 로켓 궤도와 쌍성 진화를 연구하는 데 특히 도움이 됩니다.