몬테 카를로 방법 (Monte Carlo method), 통계 시뮬레이션 방법이라고도 합니다. 1940년대 중반 과학 기술의 발전과 전자 컴퓨터의 발명으로 인하여 제기되었습니다. 확률 통계 이론을 지도하는 매우 중요한 수치 계산 방법입니다. 난수(또는 더 흔한 의수기)를 사용하여 많은 계산문제를 해결하는 방법을 말합니다. 이에 대응하는 것이 확실성 알고리즘입니다. 몬테 카로 방법은 금융공학, 거시경제학, 계산물리학(입자 운반 계산, 양자열역학 계산, 공기역학 계산 등) 분야에서 활용되고 있습니다.
몬테카를로 방법은 1940년대에 미국에서 제정되었습니다. 제2차 세계대전 중 원자폭탄을 고안한 맨해튼 계획입니다. 획의 멤버인 SM 울람과 J. 폰 노이만이 먼저 제안했습니다. 수학자 폰 노이만은 세계적으로 유명한 도박도시 모나코의 몬테 카를로(Monte Carlo)라는 이름을 붙여 신비로운 색채를 입혔습니다. 그 이전부터 몬테카를로 방법은 존재했습니다. 1777년 프랑스의 수학자 Georges Louis Leclere de Buffon, 1707-1788)이 주사율 파이(π)를 바늘을 던져보는 실험을 제안했습니다. 이것이 몬테카를로 방법의 기원으로 여겨집니다.
기본 개념
어떤 임의의 사건이 생길 확률입니다. 또는 어떤 확률변수의 기대치일 경우, 어떤 '실'을 통해'검사'의 방법은, 이 사건 출현 빈도로 이 랜덤한 사건의 확률을 추정할 수 있습니다. 이 확률변수의 일부 숫자의 특징을 찾아 문제의 해법으로 삼으십시오.
작업 과정
몬테카로 방법의 문제풀이 과정은 세 개의 주로 귀결될 수 있습니다. 단계: 확률 과정을 구성하거나 기술합니다. 알려진 확률로부터 구현합니다.분포 표본 추출로 각종 추정량을 설정합니다.
몬테카를로 방법의 문제 풀이 과정의 세 가지 주요 단계입니다:
(1) 확률 과정을 구성하거나 기술합니다.
입자가 지는 것과 같은 임의의 성질을 갖는 문제에 대하여 말입니다. 운임 문제는, 이 확률의 흐름을 정확하게 기술하고 시뮬레이션하는 것입니다. 즉, 임의의 성격이 아닌 확실성의 문제, 예를 들어 정점을 계산하려면 반드시 사전에 해야 합니다. 인위적인 확률 과정을 구성합니다. 그것의 어떤 참량은 바로 요구되는 문제의 해입니다. 즉 무작위적인 성질을 갖지 않는 문제를 무작위적인 성질의 문제로 바꾸어야 합니다.
(2) 알려진 확률 분포로부터 샘플링이 이루어집니다.
확률 모형을 만든 후 여러 확률 모형으로 인해여러 가지 확률분포로 이루어진다고 볼 수 있습니다. 알려진 확률분포를 위한 확률변수(또는 무작위벡터)가 생성되면 몬테카를로 구현이 됩니다. 시뮬레이션의 기본 수단, 이것이 몬테카를로 방법이 무작위 샘플링이라고 불리는 이유입니다. 가장 간단하고, 가장 기본적이며, 가장 중요한 확률분포는 (0,1) 위의 고른 분포(또는 직사각형분포라고도 한다)입니다. 난수는 이러한 고른 분포를 갖는 난수 변수입니다. 난수서열은 이러한 분포를 갖는 총체의 간단한 하위 형태입니다. 즉, 이러한 분포를 갖는 서로 독립적인 난수 변수서열입니다. 난수가 생기는 문제는 바로 이 분포로부터의 표본 추출 문제입니다. 컴퓨터에서는 물리적인 방법으로 난수를 만들 수 있지만 가격이 비싸고 중복되지 않아 불편합니다. 또 다른 방법은 수학적 밀어주기 공식으로 만들어지는 것입니다. 이렇게 만들어진 서열은 진짜 난수 서열과는 다르기 때문에 위수, 또는 위수 서열이라고 합니다. 하지만 여러 가지 통계적 검증서를 거쳤습니다. 그것과 참된 것은 따릅니다. 기수, 혹은 난수 서열이 비슷한 것을 가지고 있습니다. 성질, 따라서 진짜 난수로 삼을 수 있습니다. 알려진 분포에서 무작위로 추출합니다. 여러 가지 방법이 있습니다. (0, 1)) 위의 고른 분포 샘플링과 달리, 이러한 방법들은 무작위 서열에 의해 이루어집니다. 즉, 모두 난수 발생을 전제로 합니다. 알 수 있듯이 난수는 우리가 몬테카를로 모델을 이루는 기본 도구입니다.
(3) 각종 추정량을 수립합니다.
일반적으로 말해서, 확률 모형을 만들고 그 중에서 추출할 수 있습니다. 즉, 시뮬레이션이 실현된 후, 우리는 임의변경을 결정해야 합니다. 요구되는 문제의 해로서 우리는 그것을 무편산이라고 합니다. 여러 가지 예측량을 세워요.모의실험 결과를 답사하고 등록해 문제를 푸는 셈입니다.
수학 응용 프로그램:
보통 몬테 카를로 방법은 구조를 통해 일정한 규칙에 부합합니다. 수학상의 여러 가지 문제를 난수로 해결합니다. 계산이 너무 복잡해서 풀기 어렵거나 아예 풀리지 않는 문제에 대해서 몬테 카를로 방법은 효과적으로 수치해를 구하는 방법입니다. 일반적으로 몬테 카를로 방법은 수학에서 가장 흔한 응용이 몬테 카를로 적분입니다.
응용 분야
몬테카를로 방법은 금융공학, 거시경제학에 있습니다. 입자 수송 계산, 양자 등 생물학, 계산물리학입니다. 열역학 컴퓨팅, 공기역학 컴퓨팅, 핵공학) 등의 분야에서 응용이 광범위합니다.
작업 과정
실제 문제를 해결할 때 몬테 카로 방법을 적용합니다. 주로 두 가지 작업이 있습니다:
1. 몬테 카로 방법으로 어떤 과정을 시뮬레이션한 경우,어떤 확률분포를 생성할 수 있는 확률변수가 필요합니다.
2. 모형의 숫자의 특징을 통계적으로 추정해 보세요.자, 실제 문제에 대한 수치적 해답을 얻습니다.
분자 시뮬레이션 계산
몬테 카로 방법을 이용한 분자 시뮬레이션은 에 의해 수행됩니다. 다음과 같이 진행합니다.
1. 난수 발생기를 이용하여 무작위 분기를 만듭니다. 서브 구성입니다.
2. 이 분자구형의 입자 좌표를 일정하게 하지 않습니다. 이렇게 바뀌어 새로운 분자 구조가 만들어집니다.
3. 새로운 분자구성의 에너지를 계산합니다.
4. 비교적 새로운 분자구성은 변화 이전의 분자구성에 있습니다. 형의 에너지 변화, 형의 수용 여부를 판단합니다.
만약 새로운 분자구형에너지가 원분자구형에너지보다 낮으면그러면 새로운 구성을 받아들이고 이 구성을 반복해서 다음을 만들도록 하겠습니다. 2차 반복. 새로운 분자 구조 에너지가 원분자 구조 에너지보다 높으면 볼츠를 계산합니다. 만 인자이며 난수를 만듭니다. 만약 이 난수가 계산된 볼츠만 인자보다 크면 이 구성을 버리고 다시 계산합니다. 만약 이 난수가 계산된 볼츠만 인자보다 작다면, 이 구성을 받아들이고, 이 구성을 사용하여 다음 반복을 반복합니다.
5. 이렇게 반복 계산하여 끝까지 찾아냅니다. 주어진 에너지 조건보다 낮은 분자 구조 끝입니다.
프로젝트 관리
프로젝트 관리에서 몬테 카로 시뮬레이션 방법의 일반적인 단계입니다.
예:
1. 모든 활동에 대하여 최소, 최대, 최대, 최대를 입력하십시오. 데이터를 추정할 수 있고 적절한 선험 분포 모델을 선택합니다.
2. 컴퓨터는 상술한 입력에 따라 주어진 어떤 것을 이용합니다. 충분한 양의 무작위 샘플링이 신속하게 실시됩니다.
3. 무작위로 추출한 데이터에 필요한 수학적 계산으로 결과를 구합니다.
4. 구한 결과를 통계학적으로 처리하여 최대로 구합니다. 작은 값, 최대값 그리고 수학적 기대값과 단위 표준편차입니다.
5. 구한 통계학에 따라 데이터를 처리하고 컴퓨터를 이용하도록 합니다. 자동 생성 확률 분포 곡선과 누적 확률 곡선입니다. 정규 분포에 기초한 확률 누적 S곡선입니다)
6. 누적 확률 곡선에 따른 프로젝트 위험분석을 실시합니다.
역학
역학에서 몬테카를로 방법은 희박함을 해소하는 데 많이 사용됩니다. 가스역학 문제 중 가장 성공한 것은 호주 G입니다. A. 버드 등이 개발한 직접 모의통계시험법입니다. 이 방법은 컴퓨터에서 추적합니다. 수천 개 이상의 분자의 운동, 충돌 및 벽면과의 상호작용을 시뮬레이션하여 실제 기체의 흐름을 시뮬레이션합니다. 기본 가설은 보르즈만 방정식과 일치하지만, 이는 유한 개 분자의 공간적 위치와 속도를 추적함으로써 실제 기체에서의 분포 함수를 계산하는 것을 대체합니다. 시뮬레이션의 비슷한 조건은 흐르는 크누증수(Kn)와 동일합니다. 즉, 수 밀도와 충돌 단면의 적분은 상수를 유지합니다. 각각의 분자에 대하여 그 위치와 속도를 기록하기 위해 할당된 셀입니다. 모의 과정에서는 분자의 운동과 충돌을 각각 고려하며, 이 평균 충돌 시간 간격에서는 분자의 충돌 없는 운동과 전형적인 충돌을 각각 계산합니다. 만약 공간 격자가 충분히 작다면, 그 중 어느 두 분자는 서로 충돌할 수 있습니다. 구체적으로 어떤 두 개의 강체 분자가 충돌할지를 결정합니다. 무작위로 한 쌍의 분자를 취하여 그들의 상대 속도를 계산합니다. 최대 상대 속도입니다. 도수의 비율과 무작위 샘플링 비교 결과입니다. 이 쌍의 분자 선정 여부를 결정합니다. 충돌 후 분자의 속도에 따라요특정 분자 모형의 충돌역학과입니다. 임의의 샘플링이 결정됩니다. 분자와 벽면의 충돌 후의 속도는 특정 반사 모델과 임의의 샘플링에 따라 결정됩니다. 운동 분자의 위치와 속도에 대한 추적과 토크를 구하면 기체의 밀도, 온도, 속도 등 일부 관심 있는 매크로 참량을 도출할 수 있습니다. 반면 분자와 벽면 사이의 운동량과 에너지 교환에 대한 기록은 저항, 거력, 열교환계수 등의 수학적 기대치를 제시합니다.
이론적으로 말하자면, 몬테카를로 방법은 대량의 실을 필요로 합니다. 검사 실험 횟수가 많을수록 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
표에서 볼 수 있는 데이터는 서기 20세기까지입니다. 초기에는 비록 실험 횟수가 수천 개에 달하지만, 몬테카를로 측을 이용했습니다. 법에서 얻은 원주율 파이 값은 기원후 5세기 조충지의 추정치에도 미치지 못합니다. 이것이 아마도 전통적인 몬테카를로 방법이 오랫동안 보급되지 못한 주요한 이유일 것입니다.
컴퓨터 기술의 발전은 몬테카를로 방법을 가장 잘 만들었습니다. 최근 10년 동안 빠른 속도로 보급되고 있습니다. 현대의 몬테카를로 방법입니다. 이미 직접 실험에 착수할 필요가 없고, 컴퓨터의 고속 작동 능력에 힘입어 원래의 것을 가능하게 합니다. 시간이 걸리던 실험 과정이 빠르고 손쉬운 일로 바뀌었습니다. 많은 복잡한 과학 방면의 문제를 해결하는 데 사용될 뿐만 아니라 프로젝트 관리자들이 자주 사용하고 있습니다.
컴퓨터 기술에 힘입어 몬테 카를로 방법은 두 가지를 실현했습니다.
장점 및 이점
하나는 간단하고, 번잡한 수학적 유도와 연산의 과오를 덜었습니다. 일반인도 이해하고 익힐 수 있도록 도와줍니다.
두 번째는 빠릅니다. 간단함과 빠름, 몬테카를로 방면입니다. 현대 프로젝트 관리에서 응용할 수 있는 기술적 기반을 제공받습니다.
몬테카를로 방법은 강한 적응성과 문제의 기하학이 있습니다. 형상의 복잡성이 그것에 미치는 영향은 크지 않습니다. 이 방법의 수렴성은 확률적 의미에서의 수렴을 말하므로 문제의 차원의 증가는 그 수렴속도에 영향을 미치지 않습니다. 또한 메모리 셀도 매우 절약됩니다. 이것은 이 방법으로 대형의 복잡한 문제를 처리할 때의 이점입니다. 이에 따라 컴퓨터의 발달과 과학기술 문제가 복잡해지면서 몬테카를로 기법의 활용도 넓어지고 있습니다. 다중적분계산, 미분방정식구해, 적분방정식구해, 특징값계산, 비선형방정식구해 등 고난도 및 복잡한 수학적 계산문제를 비교적 잘 해결했을 뿐만 아니라 통계물리, 핵물리, 진공기술, 시스템과학, 정보과학, 공공사업, 지질, 의학, 신뢰성 및 컴퓨터과학 등 광범위한 분야에서 성공적으로 응용되고 있습니다.
